Аналитическая геометрия

 Клетеник

Прямая и плоскость

1. Доказать, что прямая x=3t-2, y=-4t+1, z=4t-5 параллельна плоскости 4x-3y-6z-5=0.
   • нужно выписать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости;
   • перепишем уравнение прямой в каноническом виде — знаменатели — это координаты направляющего вектора: (x+2)/3=(y-1)/(-4)=(z+5)/4; (3;-4;4);
   • координаты нормального вектора (4;-3;-6);
   • прямая параллельна плоскости, если синус угла между ними равен нулю: , дробь равна нулю, если числитель равен 0, то есть m*A+n*B+k*C=0;
   • (3*4-4*(-3)+4*(-6))= 0, то есть прямая и плоскость параллельны.
2. Доказать, что прямая ,  лежит в плоскости 4x-3y+7z-7=0.
   • с помощью матрицы i,j,k найдем направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений (пересечение двух плоскостей): 6i+9j+k, то есть (6;9;1);
   • выписываем координаты нормального вектора плоскости (4;-3;7);
   • покажем, что прямая и плоскость параллельны, то есть синус угла между ними равен нулю: m*A+n*B+k*C=0, 24-27+7=0;
   • если прямая не просто параллельна плоскости, а еще и лежит в ней, то любая точка этой прямой принадлежит заданной плоскости; подберем координаты точки прямой, они будут решением заданной системы (можно перебирать, упрощать систему как в школе, можно решить матрицу из коэффициентов): (-2;-8/3;1);
   • подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости, если выражение превратится в ноль, то точка принадлежит в плоскости, то есть прямая лежит в плоскости: -8+8+7-7=0.
3. Найти точку пересечения прямой  (x+2)/(-2)=(y-1)/3=(z-3)/2 и плоскости x+2y-2z+6=0.
   • перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=-2t-2; y=3t+1; z=2t+3;
   • подставим полученные координаты в уравнение плоскости (-2t-2)+2(3t+1)-2(2t+3)+6=0, найдем отсюда 0=0, то есть при любых t прямая и плоскость пересекаются, то есть прямая лежит в этой плоскости.
4. Найти точку пересечения прямой  (x-1)/1=(y+1)/(-2)=z/6 и плоскости 2x+3y+z-1=0.
   • перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=t+1; y=-2t-1; z=6t;
   • подставим полученные координаты в уравнение плоскости 2(t+1)+3(-2t-1)+(6t)-1=0, найдем отсюда t=1;
   • подставим t в выражения для координат: x=2; y=-3; z=6. Точка пересечения (2;-3;6).
5. Найти точку пересечения прямой  (x+3)/3=(y-2)/(-1)=(z+1)/(-5) и плоскости x-2y+z-15=0.
   • перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=3t-3; y=-t+2; z=-5t-1;
   • подставим полученные координаты в уравнение плоскости (3t-3)-2(-t+2)+(-5t-1)-15=0, найдем отсюда 0=23 — ложь, то есть прямая и плоскость не пересекаются (параллельны).
6. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2; -4; -1) и середину отрезка прямой , заключенного между плоскостями 5x+3y-4z+11=0 и 5x+3y-4z-41=0.
   • составим уравнение прямой с помощью матрицы i,j,k: 7i+21j-21k=0, то есть направляющий вектор имеет координаты (7;21;-21);
   • подберем точку, через которую проходит заданная прямая (подбор, решение системы, решение матрицы из коэффициентов) (4;1;2);
   • запишем уравнение прямой в каноническом виде: (x-4)/7=(y-1)/21=(z-2)/(-21); перепишем его в параметрическом виде: x=7t+4; y=21t+1; z=-21t+2;
   • подставим координаты в уравнение первой плоскости: 5(7t+4)+3(21t+1)-4(-21t+2)+11=0, 182t=-26, t=1-1/7; найдем точку их пересечения: x=3, y=-2, z=5
   • подставим координаты в уравнение второй плоскости: 5(7t+4)+3(21t+1)-4(-21t+2)-41=0, 182t=26, t=1/7; x=5; y=4;-1
   • x
8. а