Окружность — 8

1. Окружность — геометрическое место точек, которые равноудалены от общего центра.

2. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

3. Центр окружности и круга принято обозначать одной заглавной буквой О.

4. Радиус

  • радиус — это расстояние от центра окружности (круга) до любой точки, лежащей на окружности;
  • изображается радиус в виде отрезка;
  • у каждой окружности можно провести бесконечно много радиусов, все они будут одной длины;
  • при решении задачи нужно проводить радиус так, чтобы получить полезную фигуру или полезную информацию;
  • чем больше окружность или круг, тем больше его радиус;
  • радиус обозначается несколькими способами
    • латинскими буквами r или R;
    • двумя заглавными латинскими буквами;
    • одной строчной латинской буквой;
  • радиус в два раза меньше диаметра: r=d:2.

5. Диаметр

  • диаметр — это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности и обязательно проходящий через центр окружности (круга);
  • диаметр обозначается несколькими способами
    • латинскими буквами d и D;
    • двумя заглавными латинскими буквами;
    • одной строчной латинской буквой;
  • диаметр в два раза больше радиуса: D=2r.

6. Хорда

  • хорда — это отрезок соединяющий любые две точки окружности;
  • любой диаметр — это тоже хорда, но не каждая хорда является диаметром;
  • хорда, проходящая через центр окружности является диаметром;
  • хорда обозначается несколькими способами
    • двумя заглавными латинскими буквами;
    • одной строчной латинской буквой;
  • равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами;
  • диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;
  • теорема: если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AS•SB=CS•SD, где S — точка пересечения хорд AB и СD.

7. Секущая

  • секущая — прямая, которая имеет с окружностью две общие точки;
  • расстояние между секущей и центром окружности меньше радиуса окружности;
  • если из одной точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то справедливо правило: AB•AC=AD•AE, где АВ и АD — внешние части секущих;
  • если из одной точки А проведены секущие AB и AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;.

8. Касательная

  • касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, эта точка называется точкой касания;
  • расстояние между центром окружности  и касательной равно радиусу окружности;
  • теорема: касательная и радиус окружности, проведенный к точке касания, всегда перпендикулярны (угол между ними равен 90º);
  • теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной;
  • теорема: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны;
  • если из одной точки А проведены касательные AB и AD, то угол между ними ∠BAD=π-∪BD;
  • если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то АВ²=AD•AC;
  • если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;
  • если из одной точки А проведены касательная AB и хорда AD, то угол между ними ∠BAD=∪АD:2;

9. Взаимное расположение окружности и прямой:

  • прямая может иметь с окружностью одну общую точку, тогда эта прямая называется касательной; это возможно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности;
  • прямая может иметь с окружностью две общие точки, тогда эта прямая называется секущей, это возможно, если расстояние между прямой и центром окружности меньше радиуса окружности;
  • если расстояние между прямой и центром окружности больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек;

10. Взаимное расположение двух окружностей:

  • окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов;
  • окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов;
  • окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов
  • окружности совпадают, если их центры совпадают, а радиусы равны;

11. Углы и окружность

  • градусная мера всей окружности равна 360º;
  • центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности (круга); максимальное значение центрального угла 360º;
  • центральный угол равен дуге окружности, на которую опирается;
  • вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности;
  • теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается;
  • вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;
  • вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же самую дугу;
  • центральный угол в два раза больше вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу;
  • дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности;
  • вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90º, то есть он прямой;

12. Длина окружности и площадь круга:

  • π — математическая постоянная, равная отношению длины окружности (любой) к её диаметру, это число справедливо для всех окружностей, какого бы размера они ни были;
  • π=3,14;
  • π=180º;
  • С=2πr=πd;
  • S=πr2=πd2/4;

13. Вписанная окружность

  • если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной;
  • теорема: в любой треугольник можно вписать окружность;
  • в треугольник можно вписать только одну окружность;
  • площадь треугольника: S=pr, p — полупериметр треугольника (сложить все стороны треугольника и разделить на 2), r — радиус вписанной окружности;
  • не во всякий четырехугольник можно вписать окружность;
  • если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность;
  • если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противолежащих сторон равны;

14. Описанная окружность

  • если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной;
  • теорема: около любого треугольника можно описать окружность;
  • около треугольника можно описать только одну окружность;
  • около четырехугольника не всегда можно описать окружность;
  • если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противолежащих сторон равны 180º;
  • если сумма противолежащих сторон четырехугольника равна 180º, то около него можно описать окружность.