Задание 16
— ЕГЭ — база-
Задание № 16. Задачи по стереометрии.
- базовый уровень сложности;
- рекомендуемое время выполнения — 5 минут;
- за верное решение можно получить 1 балл;
- решение не проверяется, на апелляцию не подается;
- все необходимые знания и умения формируются в 10-11 классах.
Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!
2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!
3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. «По памяти» — не подглядывая, ни на секунду, ни «одним глазком», ни «чтобы просто убедиться». При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.
4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.
Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители 
!
Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то
-
попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.
-
не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы — это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;
-
попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.
Дополнение:
Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.
Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.
Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.
Алгоритм
1. Чертеж Вам уже дан (если не дан, то чертите), покажите на нем все, что известно, обозначьте вопрос задачи.
-
- Эту рекомендацию выполняем на бумаге, а не в голове. Аргумент: «Я и так умный, мне не надо» — не оправдывает Ваших периодических (или постоянных) ошибок при выполнении этого задания. А лишь подтверждает необходимость чертить.
2. Перечислите все фигуры, что Вы видите на чертеже. Выберите из них ту, о которой больше всего данных. Используйте эти данные, чтобы найти новые значения. Найдите все, что возможно. Дополните чертеж новыми данными.
-
- Обязательно проанализируйте сначала все данные. Никогда не делайте поспешных выводов. Не пытайтесь сразу после чтения условия выбрать способ решения. Это не страшно, что сразу не понятно, как решать задачу. Просто проанализируйте условие (медленно и полностью). То, что кто-то это делает быстрее и видит все и сразу, не показатель того, что Вы не справляетесь.
3. Подберите фигуру (или элемент фигуры), о которой задан вопрос. Возможно, Вы уже ответили на вопрос задачи, тогда выписывайте ответ.
4. Если на вопрос ответ пока не получен, то кратко (это важно! не произносите лишние слова) сформулируйте, что Вам нужно найти, и что Вам уже известно. Произносите НЕ числа, а названия элементов фигур. Вспомните в каком правиле встречаются такие сочетания элементов. Используйте подходящее правило.
-
- Если выбранная фигура не помогает решить задачу, то подбираем другую фигуру, а не смотрим на чертеж, внушая мозгу, что Вы ничего не понимаете и не знаете. Он послушается Вас и ничего решать не будет!
- Обязательно кратко и четко формулируйте, что Вы видите, и, что Вам нужно найти. «Не лейте воду!» Не подменяйте названия элементов фигур числами, буквами, звуками, фразами «ну, эта штука». Без четкой формулировки мозг не поймет, какие правила он должен вспомнить.
5. Когда удобно или необходимо проводить дополнительные построения
- в равнобедренном треугольнике провести высоту к основанию – получим два равных прямоугольных треугольника.
- в равнобедренной трапеции провести две высоты, получим по бокам два равных прямоугольных треугольника, по центру прямоугольник (или квадрат).
- в окружности провести радиусы так, чтобы получились равнобедренные треугольники.
- в окружности провести радиус к точке касания, чтобы получить прямоугольный треугольник.
6. Иногда полезно заметить, что большую фигуру можно разбить на маленькие равные части.
7. Геометрические задачи также можно решать с помощью уравнений, как и все остальные математические задачи. Смело вводите переменную (или переменные) и составляйте уравнения.
8. Если вспоминать нЕчего, то сначала выучите правила, не мучайте мозг!
Правила
— учим —
-не читаем! не смотрим! учим!-
- Вся эта информация должна быть в памяти. Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.
Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).
1. Площадь поверхности любой стереометрической фигуры находится как сумма площадей отдельных граней. Если нужно найти площадь боковой поверхности, то учитывать площади оснований не нужно.
2. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
3. Площадь квадрата равна квадрату стороны.
4. Площадь круга: S=πr².
5. Площадь боковой поверхности конуса: S=πrl, l — образующая, r — радиус основания. Площадь полной поверхности конуса: S=πrl+πr².
6. Площадь боковой поверхности цилиндра: S=2πrh, r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра: S=2πrh+2πr².
7. Объем параллелепипеда равен произведению трех его ребер.
- если одну из сторон параллелепипеда увеличить в n раз, то и объем увеличится в n раз;
- если одну сторону параллелепипеда увеличить в n раз, а вторую в m раз, то объем увеличится в n•m раз.
8. Объем цилиндра равен произведению основания на высоту. Основанием цилиндра является круг.
- если площадь основания цилиндра увеличить (уменьшить) в n раз, то высота жидкости уменьшится (увеличится) в n раз;
- если радиус основания цилиндра увеличить (уменьшить) в n раз, то высота жидкости уменьшится (увеличится) в n² раз.
9. Объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Основанием пирамиды являются различные многоугольники (треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д.).
10. Объем конуса равен 1/3 площади основания на высоту. Основанием конуса является круг.
11. Чтобы найти площадь поверхности сложной фигуры, найдите площадь каждой отдельной грани и сложите эти результаты.
12. Чтобы найти ВО сколько раз отличается одно значение от другого, нужно большее значение разделить на меньшее.
13. Чтобы найти НА сколько отличается одно значение от другого, нужно из большего значения вычесть меньшее.
14. Если высоты и основания конусов отличаются в n раз, то их объемы отличаются в n³раз.
15. Объем шара: V=4πr³/3.
Тренировочные задания
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ CD1 боковой грани равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите площадь поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и его объем.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
3. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.
4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
5. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
6. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
7. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.
8. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?
9. Объём конуса равен 50π, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса.
10. Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
11. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
12. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 2, а второго — 3 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
13. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма другого?.