Определение подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если углы первого треугольника равны углам второго треугольника или, если соответствующие стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника.

Что значит «пропорциональны»?

  • стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, если

        \[\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{k}=k\]

    • k- коэффициент подобия (или коэффициент пропорциональности).

Какие стороны являются соответствующими?

  •  если подобные треугольники наложить друг на друга равными углами (должны совпасть все три угла), то совпавшие стороны и будут соответствующими.

Примечание:

  • равными фигурами называются фигуры одинаковой формы и одинакового размера;
  • подобными фигурами называются фигуры одинаковой формы, но разного размера;
  • термин «соответствующие» равнозначен термину «соответственные».

При решении задач, чтобы доказать, что треугольники подобны, ищем пары равных углов и пары пропорциональных сторон.

Задачи для тренировки

1. Являются ли равными любые два подобных треугольника? Подобны ли любые два равных треугольника? Назовите соответствующий коэффициент подобия.
2. Могут ли быть подобными прямоугольный и тупоугольный треугольники?
3. Два треугольника подобны с коэффициентом 0,25. Во сколько раз стороны одного треугольника больше соответствующих сторон другого?

4. На рисунках ΔABC ∼ ΔMKN. По данным рисунка найдите x и y. 

5. Прямая KM параллельна стороне AC треугольника ABC. Найдите отрезок MC, если: а) AK = 2 см, KB = 6 см, BM = 9 см; б) AK:KB = 2:3, BC = 10 см.

6. Прямая KM параллельна стороне AC треугольника ABC. Найдите отрезок AB, если AK = 6 см, BM:MC= 4:3.
7. Известно, что ΔABC∼ΔDEF . Найдите: а) угол C, если ∠А= 45°, ∠Е =110°; б) угол F, если ∠ В=80°, ∠А = ∠C.
8. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если в подобном ему треугольнике разность наибольшего и наименьшего углов равна 70°.

9. Докажите по определению, что любые два равносторонних треугольника подобны.
10. Докажите от противного, что тупоугольный и равносторонний треугольники не могут быть подобными.

11. Известно, что ΔABC∼ΔDEF, причем ∠D=70°, ∠B=55°. Докажите, что AB=AC.
12. Известно, что ΔABC ∼ΔKMN, причем ∠A+ ∠M=90°. Докажите, что AB — наибольшая сторона треугольника ABC.
13. Докажите, что треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника подобен данному. Чему равен коэффициент подобия?
14. В треугольнике ABC точки D и E — середины сторон AB и ABC соответственно. Докажите, что ΔABC ∼ΔDBE, и найдите коэффициент подобия.

15. Каждый из двух неравных, но подобных треугольников имеет стороны длиной 12 см и 18 см. Найдите неизвестные стороны этих треугольников.
16. Треугольники со сторонами a, b, c и b, c, d подобны. Докажите, что коэффициент подобия не может быть равным 2. 

17. Диагональ AC делит трапецию ABCD (AD||BC) на два подобных треугольника ABC и ACD. Найдите AC, если BC = 4 см, AD = 9 см.
18. Диагональ AC трапеции ABCD (AD||BC) равна стороне CD и делит трапецию на два подобных треугольника ABC и ACD. Найдите периметр трапеции, если AB = 9 см, CD = 12 см.

19. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.

20. Стороны АВ, ВС, АС треугольника АВС пропорциональны сторонам DE, EF, FD треугольника DEF, угол С=50°, угол D= 70°. Найдите остальные углы треугольников.

21. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка М так, что ΔАВМ∼ΔАВС. Найдите АВ, если ВМ=4, СМ=5.

22. .

[свернуть]