Клетеник
Прямая и плоскость
- Доказать, что прямая x=3t-2, y=-4t+1, z=4t-5 параллельна плоскости 4x-3y-6z-5=0.
- нужно выписать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости;
- перепишем уравнение прямой в каноническом виде — знаменатели — это координаты направляющего вектора: (x+2)/3=(y-1)/(-4)=(z+5)/4; (3;-4;4);
- координаты нормального вектора (4;-3;-6);
- прямая параллельна плоскости, если синус угла между ними равен нулю: , дробь равна нулю, если числитель равен 0, то есть m*A+n*B+k*C=0;
- (3*4-4*(-3)+4*(-6))= 0, то есть прямая и плоскость параллельны.
- Доказать, что прямая , лежит в плоскости 4x-3y+7z-7=0.
- с помощью матрицы i,j,k найдем направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений (пересечение двух плоскостей): 6i+9j+k, то есть (6;9;1);
- выписываем координаты нормального вектора плоскости (4;-3;7);
- покажем, что прямая и плоскость параллельны, то есть синус угла между ними равен нулю: m*A+n*B+k*C=0, 24-27+7=0;
- если прямая не просто параллельна плоскости, а еще и лежит в ней, то любая точка этой прямой принадлежит заданной плоскости; подберем координаты точки прямой, они будут решением заданной системы (можно перебирать, упрощать систему как в школе, можно решить матрицу из коэффициентов): (-2;-8/3;1);
- подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости, если выражение превратится в ноль, то точка принадлежит в плоскости, то есть прямая лежит в плоскости: -8+8+7-7=0.
- Найти точку пересечения прямой (x+2)/(-2)=(y-1)/3=(z-3)/2 и плоскости x+2y-2z+6=0.
- перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=-2t-2; y=3t+1; z=2t+3;
- подставим полученные координаты в уравнение плоскости (-2t-2)+2(3t+1)-2(2t+3)+6=0, найдем отсюда 0=0, то есть при любых t прямая и плоскость пересекаются, то есть прямая лежит в этой плоскости.
- Найти точку пересечения прямой (x-1)/1=(y+1)/(-2)=z/6 и плоскости 2x+3y+z-1=0.
- перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=t+1; y=-2t-1; z=6t;
- подставим полученные координаты в уравнение плоскости 2(t+1)+3(-2t-1)+(6t)-1=0, найдем отсюда t=1;
- подставим t в выражения для координат: x=2; y=-3; z=6. Точка пересечения (2;-3;6).
- Найти точку пересечения прямой (x+3)/3=(y-2)/(-1)=(z+1)/(-5) и плоскости x-2y+z-15=0.
- перепишем уравнение прямой в каноническом виде: х=3t-3; y=-t+2; z=-5t-1;
- подставим полученные координаты в уравнение плоскости (3t-3)-2(-t+2)+(-5t-1)-15=0, найдем отсюда 0=23 — ложь, то есть прямая и плоскость не пересекаются (параллельны).
- Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(2; -4; -1) и середину отрезка прямой , заключенного между плоскостями 5x+3y-4z+11=0 и 5x+3y-4z-41=0.
- составим уравнение прямой с помощью матрицы i,j,k: 7i+21j-21k=0, то есть направляющий вектор имеет координаты (7;21;-21);
- подберем точку, через которую проходит заданная прямая (подбор, решение системы, решение матрицы из коэффициентов) (4;1;2);
- запишем уравнение прямой в каноническом виде: (x-4)/7=(y-1)/21=(z-2)/(-21); перепишем его в параметрическом виде: x=7t+4; y=21t+1; z=-21t+2;
- подставим координаты в уравнение первой плоскости: 5(7t+4)+3(21t+1)-4(-21t+2)+11=0, 182t=-26, t=1-1/7; найдем точку их пересечения: x=3, y=-2, z=5
- подставим координаты в уравнение второй плоскости: 5(7t+4)+3(21t+1)-4(-21t+2)-41=0, 182t=26, t=1/7; x=5; y=4;-1
- x
- а
Страниц: Страница 1, Страница 2, Страница 3, Страница 4, Страница 5, Страница 6, Страница 7, Страница 8, Страница 9, Страница 10, Страница 11, Страница 12, Страница 13, Страница 14, Страница 15, Страница 16