Окружность – 9 – Learn-to-learn.com

1. Окружность – геометрическое место точек, которые равноудалены от общего центра.

2. Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

3. Центр окружности и круга принято обозначать одной заглавной буквой О.

4. Радиус

радиус – это расстояние от центра окружности (круга) до любой точки, лежащей на окружности;
изображается радиус в виде отрезка;
у каждой окружности можно провести бесконечно много радиусов, все они будут одной длины;
при решении задачи нужно проводить радиус так, чтобы получить полезную фигуру или полезную информацию;
чем больше окружность или круг, тем больше его радиус;
радиус обозначается несколькими способами
- латинскими буквами r или R;
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
радиус в два раза меньше диаметра: r=d:2.

5. Диаметр

диаметр – это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности и обязательно проходящий через центр окружности (круга);
диаметр обозначается несколькими способами
- латинскими буквами d и D;
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
диаметр в два раза больше радиуса: D=2r.

6. Хорда

хорда – это отрезок соединяющий любые две точки окружности;
любой диаметр – это тоже хорда, но не каждая хорда является диаметром;
хорда, проходящая через центр окружности является диаметром;
хорда обозначается несколькими способами
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами;
диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;
теорема: если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AS•SB=CS•SD, где S – точка пересечения хорд AB и СD.

7. Секущая

секущая – прямая, которая имеет с окружностью две общие точки;
расстояние между секущей и центром окружности меньше радиуса окружности;
если из одной точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то справедливо правило: AB•AC=AD•AE, где АВ и АD – внешние части секущих;
если из одной точки А проведены секущие AB и AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;.

8. Касательная

касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, эта точка называется точкой касания;
расстояние между центром окружности и касательной равно радиусу окружности;
теорема: касательная и радиус окружности, проведенный к точке касания, всегда перпендикулярны (угол между ними равен 90º);
теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной;
теорема: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны;
если из одной точки А проведены касательные AB и AD, то угол между ними ∠BAD=π-∪BD;
если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то АВ²=AD•AC;
если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;
если из одной точки А проведены касательная AB и хорда AD, то угол между ними ∠BAD=∪АD:2;

9. Взаимное расположение окружности и прямой:

прямая может иметь с окружностью одну общую точку, тогда эта прямая называется касательной; это возможно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности;
прямая может иметь с окружностью две общие точки, тогда эта прямая называется секущей, это возможно, если расстояние между прямой и центром окружности меньше радиуса окружности;
если расстояние между прямой и центром окружности больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек;

10. Взаимное расположение двух окружностей:

окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов;
окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов;
окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов
окружности совпадают, если их центры совпадают, а радиусы равны;

11. Углы и окружность

градусная мера всей окружности равна 360º;
центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности (круга); максимальное значение центрального угла 360º;
центральный угол равен дуге окружности, на которую опирается;
вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности;
теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается;
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;
вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же самую дугу;
центральный угол в два раза больше вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу;
дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности;
вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90º, то есть он прямой;

12. Длина окружности и площадь круга:

π – математическая постоянная, равная отношению длины окружности (любой) к её диаметру, это число справедливо для всех окружностей, какого бы размера они ни были;
π=3,14;
π=180º;
С=2πr=πd;
S=πr²=πd²/4.

13. Круговой сектор – часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Площадь кругового сектора: $S=\frac {\pi r^{2}}{360}\cdot \alpha$ , r – радиус; α – угол между радиусами.

14. Круговой сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности. Если дуга меньше 180°, то площадь сегмента равна: $S=\frac {\pi r^{2}}{360}\cdot \alpha - \frac {r^{2} sin \alpha}{2}$ , r – радиус; α – угол между радиусами.

15. Вписанная окружность

если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной;
теорема: в любой треугольник можно вписать окружность;
в треугольник можно вписать только одну окружность;
площадь треугольника: S=pr, p – полупериметр треугольника (сложить все стороны треугольника и разделить на 2), r – радиус вписанной окружности;
не во всякий четырехугольник можно вписать окружность;
если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность;
если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противолежащих сторон равны;

16. Описанная окружность

если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной;
теорема: около любого треугольника можно описать окружность;
около треугольника можно описать только одну окружность;
около четырехугольника не всегда можно описать окружность;
если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противолежащих сторон равны 180º;
если сумма противолежащих сторон четырехугольника равна 180º, то около него можно описать окружность;

17. Уравнение окружности: $\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}=r^{2}$ :

х₀, у₀ – координаты центра окружности;
х,у – координаты произвольной точки на окружности;
r – радиус окружности;
если в уравнении отсутствуют х₀, у₀, это означает, что центр окружности совпадает с центром координатной плоскости, то есть находится в точке с координатами (0;0).