1. Окружность – геометрическое место точек, которые равноудалены от общего центра.
2. Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
3. Центр окружности и круга принято обозначать одной заглавной буквой О.
4. Радиус
- радиус – это расстояние от центра окружности (круга) до любой точки, лежащей на окружности;
- изображается радиус в виде отрезка;
- у каждой окружности можно провести бесконечно много радиусов, все они будут одной длины;
- при решении задачи нужно проводить радиус так, чтобы получить полезную фигуру или полезную информацию;
- чем больше окружность или круг, тем больше его радиус;
- радиус обозначается несколькими способами
- латинскими буквами r или R;
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
- радиус в два раза меньше диаметра: r=d:2.
5. Диаметр
- диаметр – это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности и обязательно проходящий через центр окружности (круга);
- диаметр обозначается несколькими способами
- латинскими буквами d и D;
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
- диаметр в два раза больше радиуса: D=2r.
6. Хорда
- хорда – это отрезок соединяющий любые две точки окружности;
- любой диаметр – это тоже хорда, но не каждая хорда является диаметром;
- хорда, проходящая через центр окружности является диаметром;
- хорда обозначается несколькими способами
- двумя заглавными латинскими буквами;
- одной строчной латинской буквой;
- равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами;
- диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;
- теорема: если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AS•SB=CS•SD, где S – точка пересечения хорд AB и СD.
7. Секущая
- секущая – прямая, которая имеет с окружностью две общие точки;
- расстояние между секущей и центром окружности меньше радиуса окружности;
- если из одной точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то справедливо правило: AB•AC=AD•AE, где АВ и АD – внешние части секущих;
- если из одной точки А проведены секущие AB и AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;.
8. Касательная
- касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, эта точка называется точкой касания;
- расстояние между центром окружности и касательной равно радиусу окружности;
- теорема: касательная и радиус окружности, проведенный к точке касания, всегда перпендикулярны (угол между ними равен 90º);
- теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной;
- теорема: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны;
- если из одной точки А проведены касательные AB и AD, то угол между ними ∠BAD=π-∪BD;
- если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то АВ²=AD•AC;
- если из одной точки А проведены касательная AB и секущая AD, то угол между ними ∠BAD=(∪BD-∪BC):2;
- если из одной точки А проведены касательная AB и хорда AD, то угол между ними ∠BAD=∪АD:2;
9. Взаимное расположение окружности и прямой:
- прямая может иметь с окружностью одну общую точку, тогда эта прямая называется касательной; это возможно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности;
- прямая может иметь с окружностью две общие точки, тогда эта прямая называется секущей, это возможно, если расстояние между прямой и центром окружности меньше радиуса окружности;
- если расстояние между прямой и центром окружности больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек;
10. Взаимное расположение двух окружностей:
- окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов;
- окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов;
- окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов
- окружности совпадают, если их центры совпадают, а радиусы равны;
11. Углы и окружность
- градусная мера всей окружности равна 360º;
- центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности (круга); максимальное значение центрального угла 360º;
- центральный угол равен дуге окружности, на которую опирается;
- вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности;
- теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается;
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;
- вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же самую дугу;
- центральный угол в два раза больше вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу;
- дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности;
- вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90º, то есть он прямой;
12. Длина окружности и площадь круга:
- π – математическая постоянная, равная отношению длины окружности (любой) к её диаметру, это число справедливо для всех окружностей, какого бы размера они ни были;
- π=3,14;
- π=180º;
- С=2πr=πd;
- S=πr2=πd2/4;
13. Вписанная окружность
- если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной;
- теорема: в любой треугольник можно вписать окружность;
- в треугольник можно вписать только одну окружность;
- площадь треугольника: S=pr, p – полупериметр треугольника (сложить все стороны треугольника и разделить на 2), r – радиус вписанной окружности;
- не во всякий четырехугольник можно вписать окружность;
- если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность;
- если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противолежащих сторон равны;
14. Описанная окружность
- если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной;
- теорема: около любого треугольника можно описать окружность;
- около треугольника можно описать только одну окружность;
- около четырехугольника не всегда можно описать окружность;
- если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противолежащих сторон равны 180º;
- если сумма противолежащих сторон четырехугольника равна 180º, то около него можно описать окружность.