Задание 3
— ЕГЭ — профиль-
Задание № 3. Задачи по планиметрии (фигуры на плоскости)
- базовый уровень сложности;
- рекомендуемое время выполнения — 5 минут;
- за верное решение можно получить 1 балл;
- решение не проверяется, на апелляцию не подается;
- все необходимые знания и умения формируются в 5-9 классах.
Чтобы решать правильно это задание много сил и нервов тратить не нужно. Весь необходимый материал уже изучен в средней школе, ничего нового в 10-11 классе не добавляется.
Информация для учеников. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
1.Обязательно выполняйте все шаги алгоритма!
2.Обязательно выучить всю теорию. Не тратьте время на попытки решить наугад. Время дорого!
3. Внимательно изучите все образцы решения. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эти решения по памяти. «По памяти» — не подглядывая, ни на секунду, ни «одним глазком», ни «чтобы просто убедиться». При решении заданий проговаривайте объяснение полностью.
4. Потренируйтесь в решении дополнительных заданий. Решайте их по алгоритму, отработайте алгоритм так, чтобы выполнять его не задумываясь.
Информация для родителей. Как работать с материалом, размещенным в этом разделе?
Уважаемые неравнодушные и беспокоящиеся родители !
Если Вы хотите проконтролировать уровень своего ребенка или помочь ему в изучении методики решения этого задания, то
-
попросите ученика без каких-либо дополнительных повторений воспроизвести всю теорию. Проверять Вы его можете по тексту на сайте, Вам самим для этого не нужно изучать правила. Воспроизведение должно быть максимально полным и точным.
-
не задавайте наводящих вопросов. Как правило, Ваши вопросы — это скорее подсказки, а они нам не нужны. Пусть ребенок самостоятельно воспроизведет все правила, которые относятся к определенному типу заданий;
-
попросите ученика решить самостоятельно размещенные на сайте образцы. Вы сможете проверить решение по размещенным здесь образцам. Просите ребенка, чтобы он объяснял каждый свой шаг, чтобы избежать механического запоминания образца решения. Ведь этот же самый алгоритм нужно будет повторить в задании с другими числами, размещенными в уравнении по другому, а значит нужно запомнить пошаговую логику, а не перемещение символов.
Дополнение:
Это геометрия, поэтому ВСЕГДА начинайте решение с чертежа, не ленитесь, не делайте никаких выводов о способе решения или ответе, пока не выполните качественный чертеж и не нанесете на него все данные.
Можно ли учить не всю теорию? Нельзя.
Это нужно учить все? Это же много! Да, учить абсолютно все. Конечно, лучше это было сделать в 7-9 классов, но если тогда не хватило времени, то придется найти его сейчас.
Можно ли решать другим способом? Да, конечно. Если Ваш способ никогда Вас не подводит, то ни в коем случае от него не отказывайтесь, не переучивайтесь, у Вас и так все будет хорошо.
Алгоритм решения планиметрических задачПравила
не читаем! не смотрим! — учим!
Вся эта информация должна быть в памяти.
Вы должны воспроизводить ее с любого места в полном объеме без каких-либо дополнительных повторений.
Вы должны самостоятельно видеть, называть, перечислять все фигуры на чертеже (без дополнительных вопросов).
Прямые и углы
Треугольник
Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат
Трапеция
Окружность и круг
Тригонометрические закономерности
Если Вы сами не смогли решить задачу, то ВЫУЧИТЕ представленное решение, а не просто просмотрите или спишите его.
1. В треугольнике АВС угол С равен 46º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Наношу на чертеж все известное, обозначу вопрос задачи как х.
2 шаг. Вижу на чертеже треугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.
1.В треугольнике АВС больше всего известных:
-
- угол С = 46º;
- AD и BE — биссектрисы, они делят ∠А и ∠В пополам, обозначу каждую половину ∠А — z; ∠B — y; то есть ∠А=2z, ∠B=2y;
- могу найти сумму ∠А и ∠В по теореме о сумме углов в треугольнике: ∠A+∠B+∠C=180º, подставляю все известное: 2z+2y+46º=180º, то есть z+у=67º;
- в этом треугольнике больше не могу ничего найти;
- наношу дополнительную информацию на чертеж.
2. В треугольнике АОВ находится угол, который нужно найти:
-
- сумма углов z и y равна 67º;
- по теореме о сумме углов в треугольнике могу найти угол АОВ: ∠АОВ+∠ОАВ+∠ОВА=180º, подставляю все известное: ∠АОВ+67º=180º, то есть ∠АОВ=113º.
Ответ: 113.
2. В треугольнике АВС высота СН равна 6, АВ=ВС, АС=8. Найдите синус угла АСВ.
1 шаг. Наношу на чертеж все известное, вопрос задачи обозначить на чертеже не могу (тригонометрические функции на чертеже не обозначаются).
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу на чертеже треугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.
1.В треугольнике АВН больше всего известных:
-
- угол Н = 90º, то есть треугольник прямоугольный;
- катет НС=6; гипотенуза АС=8; (будет не нужен);
- могу найти синус ∠А: sin ∠A = 6/8=0,75;
- могу найти косинус и синус угла НСВ, катет АН, площадь треугольника и многое другое (все это будет не нужно, поэтому решение размещать не буду);
- в этом треугольнике больше не могу ничего найти;
- разместить дополнительную информацию на чертеже не могу (тригонометрические функции на чертеже не подписываются).
2. В треугольнике АВС знаю, что:
-
- ∠А=∠АСВ, так как треугольник равнобедренный;
- так как углы равны, то равны их синусы, а синус ∠А уже найден.
Ответ: 0,75.
3. В четырехугольнике АВСD вписана окружность, АВ=13, CD=18. Найдите периметр четырехугольника.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное, вопрос задачи на чертеже обозначить не могу (периметр на чертеже не обозначается).
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу на чертеже четырехугольник и окружность. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.
1.В четырехугольнике больше всего известных:
-
-
- в четырехугольник вписана окружность, значит, суммы противолежащих сторон этого четырехугольника равны: АВ+CD=ВС+DA, то есть ВС+DA=18+13=31;
- периметр четырехугольника — это сумма всех его сторон: АВ+ВС+CD+DA=P, то есть 31+31=62.
-
Ответ: 62.
4. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные СА и СВ. Угол САВ равен 39º. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу на чертеже треугольники и четырехугольники. Перечисляю все, что о них знаю, нахожу все, что могу.
1.В треугольнике ВСА больше всего известных:
-
-
- известен ∠САВ = 39º;
- треугольник ВСА равнобедренный (так как касательные ВС и СА проведены из одной точки);
- ∠САВ=∠СВА=39º (углы при основании равнобедренного треугольника равны);
- ∠С=180º-39º-39º=102º (по теореме о сумме углов в треугольнике);
-
2. В четырехугольнике АСВО также много известных величин:
-
-
- известен ∠С=102º;
- ∠В=∠А=90º (углы, которые образованы касательными и радиусом);
- ∠АОВ=360º-2•90º-102º=78º (сумма углов четырехугольника равна 360º).
-
Ответ: 78.
5. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 106º, угол CAD равен 69º. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.
-
-
- в задаче идет речь только о вписанных углах, подпишем их значения между точками, на которые они опираются (это не имеет отношения величине дуги окружности между этими точками)
-
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу, что АС=АD+DC, то есть AD=AC-DC=106º-69º=37º.
Ответ: 37.
6. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол ВAD равен 127º. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу на чертеже четырехугольник. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.
-
-
- ∠А=127º;
- ∠С+∠А=180º (четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих улов равна 180º), то есть ∠С=180º-127º=53º.
-
Ответ: 53.
7. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точку D, равна 106º. Градусная мера дуги DE окружности, не содержащей точку А, равна 48º. Найдите угол АСB. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи.
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
Вижу на чертеже треугольник DAC. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.
-
-
-
- ∠А=24º (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается);
- внешний угол ΔDAC ∠BDA= 53º (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается);
- ∠BDA=∠А+∠С (внешний угол треугольника), то есть ∠C=53º-24º=29º.
-
-
Ответ: 29.
8. Радиус окружности описанной около треугольника АВС равен 2√3. Найдите АВ, если угол АСВ равен 120º.
Чтобы найти сторону треугольник, если известен радиус окружности и угол напротив, то воспользуемся готовой формулой, дополнительных шагов не требуется:
Ответ: 6.
9. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.
1 шаг. Для выполнения этой задачи чертеж не требуется, желающие могут его начертить самостоятельно.
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
-
- где а и в катеты треугольника;
- найдем недостающий катет по теореме Пифагора:
- S=15•8:2=60/
Ответ: 60.
10. В треугольнике АВС средняя линия DE параллельна стороне АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АВЕD равна 48.
1 шаг. Чертеж уже дан, подписывать дополнительно ничего не надо.
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
1.Вижу на чертеже треугольник DCЕ. Перечисляю все, что о нем знаю, нахожу все, что могу.
-
-
-
- ΔDCE∼ΔАСВ (по двум равным углам — соответственные углы при параллельных прямых), коэффициент подобия k= 2 (так как проведена средняя линия);
- площадь ΔDCE в 4 раза меньше площади ΔАСВ (площади подобных фигур отличаются в k2 раз);
-
-
2.Трапеция ADEB:
-
-
-
- если ΔDCE занимает 1 из 4 частей площади ΔАСВ, то трапеция занимает 3 части из 4;
- если площадь 3х частей 48, то площадь одной части 48:3=16;
- весь треугольник — 4 части, то есть площадь всего треугольника 16•4=64.
-
-
Ответ: 64.
11. Площадь параллелограмма равна 145. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого являются серединами сторон заданного параллелограмма.
1 шаг. Выполним чертеж:
- разобьем внутренний параллелограмм на одинаковые треугольники, видим, что внутренний параллелограмм состоит из 4 одинаковых треугольников, а внешний из 8 таких же равных треугольников, значит, площади этих параллелограммов отличаются в 2 раза:
S=145:2=72,5
Ответ: 72,5.
12. Один из углов прямоугольного треугольника равен 66º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи. (почему именно угол В=66º? попробуйте решить эту задачу, если угол А равен 66º, и поймете)
2 шаг. Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
1.В треугольнике ВСН много известных:
-
-
-
- ∠В=66º, ∠ВНС=90º (по условию);
- ∠ВСН=90º-66º=24º (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º);
-
-
2.В треугольнике АВС много известных:
-
-
-
- ∠С=90º (по условию);
- ∠ВСD=45º (так как CD биссектриса прямого угла), кроме того по чертежу видно, что ∠ВСD=∠НСD+∠ВСН, то есть ∠ВСН=45º-24º=21º.
-
-
Ответ: 21.
13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 80º и 10º. Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
1шаг Нанесем на чертеж все известное:
2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
В Δ АМС много известных:
- ∠ А=10º (по условию);
- АМ=МС, так как МС — медиана, проведенная из прямого угла треугольника АВС; то есть ΔАСМ — равнобедренный, то есть ∠АСМ= ∠ А=10º ;
В ΔАВС много известных:
- ∠С=90º (по условию);
- ∠АСD=45º (так как CD — биссектриса);
- ∠АСМ= 10º (уже найдено);
- ∠МСD= 45º-10º= 35º.
3. Ответ: 35.
14. Основания трапеции равны 15 и 26. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
1 шаг Нанесем на чертеж все известное.
2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
- в ΔADE есть известные величины:
-
- АВ=26 (по условию);
- ЕО-средняя линия треугольника (проходит через середины боковых сторон по условию);
- ЕО=АВ/2=26/2=13 (по свойству средней линии).
-
3 шаг Ответ: 13.
15. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 41, отсекает треугольник, периметр которого равен 83. Найдите периметр трапеции.
1 шаг Нанесем на чертеж все известное.
2 шаг Какие фигуры вижу, что о них знаю или могу узнать?
- в параллелограмме DCBE есть известные величины:
-
- DC=EB=41 (по условию и свойству параллелограмма);
- DE=CB (по свойству параллелограмма).
-
- в ΔADE есть известные величины:
-
- DE=СВ
- P=83 (по условию); то есть я знаю сумму сторон AD, DE, AE или AD,CB, AE (этот набор сторон для нахождения периметра трапеции важнее, так как включает в себя только части трапеции).
-
- в трапеции ABCD:
-
- AE+AD+CB=83; DC+EB=82;
- PABCD=83+82=165.
-
3 шаг Ответ: 165.
16. В треугольнике со сторонами 8 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
1 шаг. Построение в данной задаче не требуется.
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
- в треугольнике даны высота и сторона, такие термины встречаются в формуле нахождения площади треугольника; найду площадь: S=8•1:2=4;
- теперь знаю площадь треугольника и другую сторону, с помощью той же самой формулы найду высоту: (1) 4=4•h:2, то есть h=2.
3 шаг. Ответ: 2.
17. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
1 шаг. Выполняем чертеж, обозначаем на нем известное:
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
- Вижу два треугольника ADH и BCE, они равны (так как трапеция по условию равнобедренная), то есть АН=ЕВ=9; следовательно НЕ=10-9=1;
- Вижу прямоугольник НDСЕ, в нем DC=HE (по свойству прямоугольника), то есть DC=1;
- Вижу трапецию ABCD: основание АВ=10+9=19;
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (1+19)/2=10;
3 шаг. Ответ: 10.
18. Два угла треугольника равны 68º и 35º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из этих углов.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу ΔАВС, в нем многое известно:
- ∠А=68º и ∠С=35º (по условию);
- найдем угол В из треугольника АВС по теореме о сумме углов в треугольнике:
68º+35º+∠В=180º
∠В=77º
Вижу четырехугольник ОНВЕ, в нем многое известно:
- ∠ВНО=90º и ∠ВЕО=90º (так как СН и АЕ высоты);
- сумма углов в четырехугольнике 360º;
- х=360º=90º+90º+77º+х, то есть х=103º.
3 шаг. Ответ: 103.
19. Найдите угол АСО, если его сторона АС касается окружности, отрезок ОС пересекает окружность в точке В, а дуга АВ, заключенная внутри этого угла, равна 17º. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Чертеж уже выполнен.
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу ΔАОС, в нем многое известно:
- ∠ ОАС=90º, так как этот угол образован радиусом и касательной;
- ∠ АОС=17º, так как опирается на дугу АС;
- по теореме о сумме углов в треугольнике: 90º+17º+∠АСО=180º, то есть ∠АСО=73º.
Ответ: 73.
20. В треугольнике АВС известно, что АС=ВС, АВ=20, sinA=√5/3. Найдите длину стороны АС.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи (дополню чертеж высотой, так как синус угла А удобно рассматривать в прямоугольном треугольнике):
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу ΔАНС, в нем многое известно:
- ∠АНС=90º (СН — высота);
- АН=20:2=10 (СН — высота и медиана, по свойству равнобедренного треугольника);
- sin2A+cos2A=1, то есть cosA=2/3;
- cosA=AH/AC, то есть АС=15.
3 шаг. Ответ: 15.
21. Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:
- выполню дополнительные построения:
- проведу радиусы (провожу радиусы так, чтобы получились полезные фигуры); (бессмысленный поступок: «проведу горизонтальные радиусы, потому что это удобно»);
- проведу высоту трапеции (так, чтобы получились полезные фигуры);( бессмысленный поступок: «проведу высоту из вершин трапеции, потому что так мы делаем всегда»):
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу ΔАОВ, в нем многое известно:
- ОА=ОВ — радиусы окружности, то есть треугольник равнобедренный;
- ОН-высота и медиана, по свойству равнобедренного треугольника, то есть АН=НВ=10/2=5;
Вижу ΔАНО, в нем многое известно:
- треугольник прямоугольный;
- по теореме Пифагора, нахожу НО.
Вижу ΔDОC и ΔDОМ, в них выполняю те же самые шаги и нахожу ОМ.
3 шаг. HM=12+5=17.
4 шаг. Ответ: 17.
22. Найдите центральный угол, если он на 28º больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
1 шаг. Чертеж уже выполнен.
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу два угла:
- вписанный и центральный, которые опираются на одну дугу;
- центральный угол в два раза больше вписанного угол (по свойству) и центральный угол на 28 градусов больше вписанного угла (по условию);
- обозначу вписанный угол как х, тогда центральный угол 2х, а их разница 2х-х=28, то есть х=28;
- центральный угол: 28º•2=56º.
Ответ: 56.
23. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину ее средней линии.
1 шаг. Чертеж уже выполнен.
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу два угла:
- окружность вписана в четырехугольник, значит, суммы противолежащих сторон равны, то есть сумма каждой пары сторон равна 28/2=14;
Вижу трапецию:
- средняя линия равна полусумме оснсований, а полусумму мы уже нашли: 14:2=7.
Ответ: 7.
24. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ=82, tgA=4/5. Найдите высоту СН.
1 шаг. Нанесем на чертеж все известное и обозначим главный вопрос задачи:
2 шаг. Какие фигуры даны, что о них знаю или могу узнать?
Вижу ΔАВС:
- тангенс угла А=4/5, то есть СВ/АС=4/5 (по определению тангенса), то есть могу записать, что СВ=4х, АС=5х;
- по теореме Пифагора: АС2+СВ2=АВ2, то есть 16х2+25х2=822, отсюда х=2√41, тогда АС=10√41 и СВ=8√41;
- S=АС*СВ/2=10√41 *8√41/2=40•41, с другой стороны S=СН*АВ/2, то есть СН=40•41•2/82=40.
3 шаг. Ответ: 40.
Тренировочные задания (блок 1)
- Треугольники
- В треугольнике ABC угол A равен 54°, стороны AC и BC равны. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 124°, стороны AC и BC равны. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
- В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 6,3, cosA = 3/5. Найдите AC.
- В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 50√3 . Найдите AB.
- В треугольнике ABC AC=BC=16, AB=8. Найдите cosA .
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
- В треугольнике ABC AB=BC, AC=12, высота CH равна 6. Найдите синус угла ACB.
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=16, AH – высота, BH=4. Найдите косинус угла BAC.
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=10, высота AH равна 5. Найдите синус угла BAC.
- В треугольнике ABC CD – медиана, угол C равен 90°, угол B равен 55°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
- Острые углы прямоугольного треугольника равны 76° и 14°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
- В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 16°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
- Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC =12√3, AB=24. Найдите cosB.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=6, cosB = 3/5. Найдите AB.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,6. Найдите sinB.
- 57. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=20, BC = 38. Найдите cosA.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=20, AC = 2√19 . Найдите sinA.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, tgA = 5. Найдите BC.
- В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол A равен 38°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 51°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
- Две стороны треугольника равны 28 и 35. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 20. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
- В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 64°, угол CAD равен 35°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- Площадь треугольника ABC равна 24, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
- В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 48. Найдите площадь треугольника ABC.
- Параллелограмм
- Один угол параллелограмма больше другого на 54°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах
- Стороны параллелограмма равны 7 и 14. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 5. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма
- Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка F – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции AFCD.
- Ромб
- В ромбе ABCD угол DAB равен 127°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
- Окружности
- Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.
- Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 65°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
- Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 46° и 79°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=18, BC=4 и AD=21. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
- Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 122°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
- Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 48°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
- Угол ACO равен 37°, где O – центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
- Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 36°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Тренировочные задания (блок 2)
- Треугольники
- В треугольнике ABC угол A равен 37°, стороны AC и BC равны. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 114°, стороны AC и BC равны. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
- В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 7,2, cosA = 4/5. Найдите AC.
- В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 45√3 . Найдите AB.
- В треугольнике ABC AC=BC=16, AB=8. Найдите cosA .
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
- В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7. Найдите синус угла ACB.
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=8, AH – высота, BH=2. Найдите косинус угла BAC.
- В треугольнике ABC AC=BC, AB=5, высота AH равна 4. Найдите синус угла BAC.
- В треугольнике ABC CD – медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
- Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
- В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
- Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 12°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC =12√3, AB=24. Найдите sinB.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, cosB = 3/5. Найдите AB.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,8. Найдите sinB.
- 57. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, BC = 19. Найдите cosA.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=30, AC = 3√19 . Найдите sinA.
- В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=5, 12 tgA = 5. Найдите AB.
- В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол A равен 44°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
- Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
- В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
- Площадь треугольника ABC равна 24, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
- В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.
- Параллелограмм
- Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах
- Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма
- Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка F – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции AFCD.
- Ромб
- В ромбе ABCD угол DAB равен 148°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
- Окружности
- Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.
- Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61°, угол CAD равен 37°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
- Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
- Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
- Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 56°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
- Угол ACO равен 27°, где O – центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
- Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.