ЕГЭ-математика-профиль-задание 14

Задание 14

Стереометрия

Критерии оценивания

Максимальный балл: 2.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Алгоритм перейти

Учим перейти + перейти

№ 1 (2020г.) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.

Ответ:

а) используйте для доказательства подобие двух пар треугольников; б) $\frac{9\sqrt{11}}{7}$

№ 2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Задача 3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.

Ответ: а) используйте для доказательства подобие двух пар треугольников; б) $\frac{12\sqrt{41}}{7}$

Задача 4
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Задача 5
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро SA = $\sqrt{43}$ . Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Задача 6
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите объем пирамиды MCDK.
Задача 7
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.
Задача 9
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Задача 8
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1.
а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ.
Задача 9
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 в которой AB = 6 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 1.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Задача 10
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой AB = 1 и AA1 = 3. Точки O и O1 являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1 cответственно. На ребре CC1 отмечена точка M такая что CM = 2.
а) Докажите, что прямая OO1 содержит точку пересечения медиан треугольника ABM.
б) Найдите объем пирамиды ABMC1.
Задача 11
Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка E такая, что BE = $\sqrt{41}$ и CE = 5 $\sqrt{2}$ .
а) Докажите, что плоскость ABB1 проходит через точку E.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости EBC, если объем EA1B1C1 в 2 раза меньше объема EBCC1.
Задача 14
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС. Через точки K, P, D1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая — равнобокая трапеция.
б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α, если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.

Задачи про правильные призмы

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
- а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
- б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁. Ответ: $\arcsin корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 }.$ (Демонстрационная версия.2021)
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB = 6 и AA₁ = 3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁ отмечена точка M такая что CM = 1.
- а) Докажите, что прямая OO₁ содержит точку пересечения медиан треугольника треугольника ABM.
- б) Найдите объем пирамиды ABMC₁. Ответ: $6 корень из { 3}.$ (Основная волна.2020)
В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁ — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁ — середина B₁E.
- а) Докажите, что прямые A₁B₁ и DE перпендикулярны.
- б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA₁ = 1. Ответ: $дробь, числитель — 8 корень из { 3}, знаменатель — 7 .$ (Резервная волна.2021)

Задачи про правильные пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
- а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
- б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC. Ответ: $дробь, числитель — 12 корень из 5 , знаменатель — 5 .$ (Демонстрационная версия.2021)
Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.
- а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
- б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14. Ответ: $дробь, числитель — 88 корень из { 2}, знаменатель — 3 .$ (Досрочная волна.2021)
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K — середина ребра SD, N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.
- а) Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
- б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16. Ответ: $дробь, числитель — 120, знаменатель — 17 .$ (Основная волна.2021)
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
- а) Докажите, что площадь PQBС относится к площади $BSC$ как 3 : 4.
- б) Найдите объем пирамиды KBQPC. Ответ: $80 корень из { 3}.$ (Основная волна.2021)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
- а) Докажите, что плоскость α параллельна SA.
- б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и SBC. Ответ: $2\arcsin дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 10 }.$ (Досрочная волна.2020)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
- а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
- б) Найдите объём пирамиды BCKM. Ответ: $дробь, числитель — 12 корень из { 41}, знаменатель — 7 .$ (Основная волна.2021)
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро $SA= корень из { 43}.$ Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
- а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
- б) Найдите площадь сечения α. Ответ: $дробь, числитель — 6 корень из { 73}, знаменатель — 10 .$ (Основная волна.2021)
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
- a) Докажите, что MK = KD.
- б) Найдите объем пирамиды MCDK. Ответ: $36 корень из { 11}.$ (Основная волна.2021)
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
- а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
- б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5. Ответ: $6 корень из { 39}.$ (Основная волна.2020)
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.
- а) Докажите, что SA = SC.
- б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB = 30, SC = 17, СB = 24. Ответ: $\arctg дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 .$ (Основная волна.2020)

Задачи про цилиндры

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
- а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.
- б) Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ = 6, ВВ₁ = 15, В₁С₁ = 8. Ответ: $\arctg{ дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 }.$ .(Основная волна.2018)
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A,B и C ,$ а на окружности другого основания — точка $C_1,$ причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle{ACB}=45 в степени circ,$ $AB=2 корень из { 2},CC_1=4.$
- а) Докажите,что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60 в степени circ.$
- б) Найдите объём цилиндра. Ответ: $16 Пи$ (Основная волна.2018)

Задачи про кубы

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.
- а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC₁ равен 60°.
- б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC₁.

Ответ: $2 корень из 3 .$ (Основная волна)