Задачи про окружности
- Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
- а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
- б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
- Ответ: 3,2. (Демонстрационная версия-2021)
- Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
- а) Докажите, что BM = CM.
- б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если
- Ответ: (Резервная волна-2021)
- Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
- а) Докажите, что AE параллельно BD.
- б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
- Ответ: (Основная волна-2020)
- Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
- а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
- б) Найдите О1О2.
- Ответ: 4. (Основная волна-2018)
- Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что
- а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
- б) Найдите угол OIH, если
- Ответ: 165°. (Досрочная волна-2016)
Задачи про треугольники
- Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
- а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
- б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.
- Ответ: (Досрочная волна-2021)
- Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что
- a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
- б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2.
- Ответ: (Основная волна-2021)
- В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
- а) Докажите, что AH = AO.
- б) Найдите площадь треугольника AHO, если
- Ответ: (Досрочная волна-2020)
- В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC .
- а) Докажите, что AH = AO.
- б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3 ,
- Ответ: (Досрочная волна-2020)
- На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
- а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.
- б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.
- Ответ: 17. (Основная волна-2020)
- В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.
- а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
- б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.
- Ответ: (Основная волна-2020)
- Около описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
- а) Докажите, что
- б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если а радиус описанной окружности равен 18.
- Ответ: 27. (Основная волна-2019)
- Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
- а) Докажите, что
- б) Найдите KN, если а радиус окружности равен 12.
- Ответ: 12. (Основная волна-2019)
- В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
- а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
- б) Найдите BH, если
- Ответ: (Досрочная волна-2018)
- Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
- а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1.
- б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.
- Ответ: 1,5. (Досрочная волна-2016)
- В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
- а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;
- б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.
- Ответ: 3 : 4. (Досрочная волна-2016)
- В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
- а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
- б) Найдите если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
- Ответ: 0,65. (Основная волна-2016)
- В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
- а) Докажите, что FH = 2DH.
- б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
- Ответ: (Досрочная волна-2014)
- В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
- а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
- б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
- Ответ : (Основная волна-2014)
- Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
- а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
- б) Найдите если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
- Ответ: (Основная волна.2014)
Задачи про параллелограммы
- Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
- а) Докажите, что BM = BN.
- б) Найдите MN, если AC = 4,
- Ответ: (Основная волна-2021)
Задачи про трапеции
- Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
- а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
- б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N — точка пересечения отрезков AD и CK.
- Ответ: (Основная волна-2021)
- Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
- а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
- б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
- Ответ: (Досрочная волна-2019)
- Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
- а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
- б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.
- Ответ: (Досрочная волна-2019)
- Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
- а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
- б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 6, а ∠LMN = 120°.
- Ответ: (Досрочная волна-2016)
- В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
- а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
- б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.
- Ответ: (Основная волна-2016)
Задачи про четырехугольники
- В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
- а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
- б) Найдите BD.
- Ответ: 55/7. (Демонстрационная версия-2018)
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
- а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
- б) Найдите AD.
- Ответ: 9. (Основная волна-2018)
- Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
- а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.
- б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если
- Ответ: 3. (Досрочная волна-2016)
Задачи про квадраты
- Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.
- а) Докажите, что
- б) Найдите Ответ: 3 : 1. (Основная волна-2018)
- Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
- а) Докажите, что
- б) Найдите отношение CE : KE, если
- Ответ: 3 : 1. (Основная волна-2016)
Задача 1
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что AE параллельно BD.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Ответ: 240/17
Задача 2
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.
Ответ: (3√2)/2
Задача 3
В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.
а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.
Ответ: 2√2
Задача 4
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.
Ответ: 17
Задача 5
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B = 21 : 10, ВА1 : A1C = 2 : 3, АВ1:В1С = 2 : 5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.
Ответ: 27
Задача 6
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 5 : 4 и A1C1 = 4.
Ответ: 8√21
Задача 7
В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 3 : 2 и A1C1 = 2.
Ответ: 8√2
Задача 8
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 4 : 3 и A1C1 = 6.
Ответ: 12√55
Задача 9
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = √15, ∠ABC
Ответ: 5/4
Задача 10
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, ∠BML = ∠BAC
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и CM = 3√5
Ответ: 80
Задача 11
На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что SABM=1/2SABCD
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что SBKC=1/2SAKD, причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Ответ: 15/2
Задача 12
На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что SABM=1/2SABCD
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что SBKC=1/2SAKD, причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 15. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Ответ: 45/4
Задача 13
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.
a) Докажите, что угол A1BB1 = 45°.
б) Известно, что AB = 2√3, ∠A = 60°. Найдите B1C1.
Ответ: 3
Задача 14
К окружности с диаметром AB = 10 проведена касательная BC так что BC = 6 Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что BD2 = CD • BE
б) Найдите площадь треугольника FBE.
Ответ: 80/3